Le nombre d’or, la suite de Fibonacci

Le nombre d’or :
qu’est-ce que c’est ?

Les Romains, les Grecs, les Juifs et les Egyptiens semblaient tous d’accord : 1,618 était le nombre d’or, le nombre de l’harmonie universelle, le nombre de la création, le nombre de Dieu, le Créateur. Le nombre utilisé partout dans l’ordre caché de la Création et qu’il fallait donc employer dans les édifices dédiés au Créateur afin de s’en rapprocher. Empreint de mystère, objet d’un culte tantôt religieux, tantôt magique, le nombre d’or influence la vision occidentale de l’harmonie.

 

Chez les Grecs, avec le développement de la géométrie, l’école secrète des pythagoriciens en avait fait un symbole d’harmonie universelle, de vie, d’amour et de beauté. Au Moyen-Age, les savants, les pères de l’église, les bâtisseurs, les maîtres d’ouvrages ou maîtres d’oeuvre, se réclament de la doctrine platonicienne des corps cosmiques, les cinq polyèdres réguliers, et ont fait du nombre d’or, « la divine proportion », un modèle de perfection esthétique et philosophique.

Le nombre d’or est appelé Phi

Il y a 10.000 ans : première manifestation humaine de la connaissance du nombre d’or dans le Temple d’Andros (découvert sous la mer des Bahamas). On le désigne par la lettre grecque (phi) en hommage au sculpteur grec Phidias (né vers 490 et mort vers 430 avant J.C) qui décora le Parthénon à Athènes.

2800 av JC : La Pyramide de Khéops a des dimensions qui mettent en évidence l’importance que son architecte attachait au nombre d’or. D’après Hérodote, des prêtres égyptiens disaient que les dimensions de la Grande Pyramide avaient été choisies telles que : « Le carré construit sur la hauteur verticale égalait exactement la surface de chacune des faces triangulaires ».

Au Ve siècle avant J-C. (447-432 av.JC) : Le sculpteur grec Phidias utilise le nombre d’or pour décorer le Parthénon à Athènes, en particulier pour sculpter la statue d’Athéna Parthénos. Il utilise également la racine carrée de 5 comme rapport.

Au IIIe siècle avant J-C. : Euclide évoque le partage d’un segment en « extrême et moyenne raison » dans le livre VI des Eléments.

Une droite est dite coupée en extrême et moyenne raison quand, comme elle est toute entière relativement au plus grand segment, ainsi est le plus grand relativement au plus petit. Euclide, Eléments, livre VI, 3ème définition.

1175 : Fibonacci est né à Pise. Son vrai nom est Léonardo Pisano. Fibonacci est un surnom qui vient de filius Bonacci qui veut dire fils de Bonacci. (Bonacci signifie chanceux, de bonne fortune). Il était l’un des plus grands mathématiciens du moyen-âge. C’est lui qui a introduit la numération décimale et l’écriture arabe des chiffres en Occident, en ramenant dans son livre Liber abaci, les connaissances acquises en Algérie où travaillait son père. En 1202, il écrit un livre Liber abaci qui porte sur les méthodes algébriques et des problèmes. Dans cet ouvrage, il émet l’idée que l’arithmétique et la géométrie sont liées ; mais aussi il met l’accent sur les neufs symboles indous de la numération ainsi que le signe zéro. Fibonacci fut sans doute le mathématicien le plus habile de toute l’époque médiévale chrétienne.

Le problème de son livre qui a le plus inspiré les mathématiciens est le problème des lapins : « Combien de couples de lapins obtiendrons-nous à la fin de chaque mois si commençant avec un couple, chaque couple produit chaque mois un nouveau couple, lequel devient productif au second mois de son existence. »

Ce problème donne lieu à la suite de FIBONACCI :1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 13 ; 21 ; 34 ; 55 ; 89 ; 144 ; 233 ; 377 ;…

Chaque terme est la somme des deux termes qui le précèdent : Un = Un-1 + Un-2.

 

« L’Homme de Vitruve » de Leonardo Da Vinci

Avant d’être détruit par les chanoines au XVIIIe siècle, le labyrinthe de Reims mesurait 10, 36 mètres de large. De base carrée, il occupait les 3ème et 4ème travées de la cathédrale en partant de la façade occidentale.

Selon Dominique Naert, « le labyrinthe de Reims répond à la résolution de la quadrature du cercle : la solution qui consistait à résoudre le problème des bâtisseurs, qui ne savaient comment calculer la surface d’un cercle, était déjà énoncée 1800 ans avant Jésus-Christ, dans le papyrus de Rhind trouvé à Luxor. En effet, si à partir du VIe siècle en Inde, les savants avaient trouvé la solution de Pi (3,1416), il faudra attendre le XVIIe siècle pour qu’en France les mathématiciens résolvent définitivement le problème. Pour les bâtisseurs du Moyen-Age, la solution consistait à réaliser, géométriquement, un cercle de la même dimension qu’un carré dont on savait calculer la surface : de trouver ainsi la construction géométrique qui permettrait de réaliser un carré de la même surface que le cercle correspondant. »

 

Les proportions du labyrinthe suivent les procédés mathématiques définis par Léonard de Pise (dit Fibonacci) dans son Liber Abaci en 1202. La suite de Fibonacci consiste à additionner les deux termes précédents (1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 …) et le rapport entre chaque terme (2/1, 3/2, 5/3 …) correspond au nombre d’or : 1,618.

La proportion 2/1 est celle de la pyramide de Khéops, des Temples Egyptiens et Grecs mais aussi celle du Temple de Salomon. Jean Chevalier et Alain Gheerbrant soulignent que dans la tradition kabbalistique, reprise par les alchimistes, le labyrinthe remplirait une fonction magique, qui serait un des secrets attribués à Salomon. C’est pourquoi le labyrinthe des cathédrales serait appelé labyrinthe de Salomon. Aux yeux des alchimistes, il serait une image du travail entier de l’oeuvre, avec ses difficultés majeures : celle de la voie qu’il convient de suivre, pour atteindre le centre, où se livre le combat des deux natures ; celle du chemin que l’artiste doit tenir pour en sortir.

 

La proportion divine

Le nombre d’or est la proportion, définie initialement en géométrie, comme l’unique rapport entre deux longueurs telles que le rapport de la somme des deux longueurs (a+b) sur la plus grande (a) soit égal à celui de la plus grande (a) sur la plus petite (b) c’est-à-dire lorsque (a+b)/a = a/b. Le découpage d’un segment en deux longueurs vérifiant cette propriété est appelé par Euclide découpage en extrême et moyenne raison. Le nombre d’or est maintenant souvent désigné par la lettre φ (phi) en l’honneur du sculpteur Phidias qui l’aurait utilisé pour concevoir le Parthénon.

Ce nombre irrationnel est l’unique solution positive de l’équation x2 = x + 1. Il vaut exactement : soit approximativement 1,618.033.989. Il intervient dans la construction du pentagone régulier et du rectangle d’or. Ses propriétés algébriques le lient à la suite de Fibonacci et permettent de définir une « arithmétique du nombre d’or », cadre de nombreuses démonstrations.

L’histoire de cette proportion commence à une période reculée de l’antiquité grecque. À la Renaissance, Luca Pacioli, un moine franciscain italien, la met à l’honneur dans un manuel de mathématiques et la surnomme divine proportion en l’associant à un idéal envoyé du ciel. Cette vision se développe et s’enrichit d’une dimension esthétique, principalement au cours des XIXe et XXe siècles où naissent les termes de section dorée et de nombre d’or.

 

Le nombre d’or se trouve parfois dans la nature ou des œuvres humaines, comme dans les capitules du tournesol ou dans certains monuments à l’exemple de ceux conçus par Le Corbusier. Il est aussi étudié comme une clé explicative du monde, particulièrement pour la beauté. Il est érigé en théorie esthétique et justifié par des arguments d’ordre scientifique ou mystique : omniprésence dans les sciences de la nature et de la vie, proportions du corps humain ou dans les arts comme la peinture, l’architecture ou la musique.

Certains artistes, tels le compositeur Xenakis ou le poète Paul Valéry ont adhéré à une partie plus ou moins vaste de cette vision, soutenue par des livres très populaires. À travers la médecine, l’archéologie ou les sciences de la nature et de la vie, la science infirme les théories de cette nature car elles sont fondées sur des généralisations abusives et des hypothèses inexactes.

 

 

Une vidéo de Nassim Haramein à écouter attentivement

L’omniprésence

La thèse de l’omniprésence du nombre d’or est souvent reprise. Si un avis définitif sur ce phénomène est difficile à propos de l’œuvre des hommes, il est plus aisé de comprendre la différence d’opinion que soulève cette question pour les sciences de la nature. Elle provient de l’usage des critères utilisés pour lier ou non le nombre d’or avec un phénomène.

Dans le monde végétal, les écailles des pommes de pins engendrent des spirales particulières, dites logarithmiques. Ces spirales se construisent à l’aide d’un nombre réel non nul quelconque. S’il est égal au nombre d’or, les proportions correspondent à la moyenne et extrême proportion d’Euclide et la suite de Fibonacci apparaît. Ce phénomène se produit sur les étamines d’une fleur de tournesol. La présence du nombre d’or n’est pas controversée dans ce cas.

En revanche, le fait qu’une telle spirale puisse aussi se construire avec le nombre d’or est une raison insuffisante pour l’associer à n’importe quelle spirale logarithmique, comme celles que forment la coquille du mollusque le nautilus, les yeux sur les plumes d’un paon ou encore à certaines galaxies. Pour un spécialiste, l’absence de nombre d’or dans une spirale rend le concept caduc. Ni proportion d’or, ni suite de Fibonacci ne sont présents. Le nombre d’or n’offre aucune information sur son sujet d’étude.

En minéralogie, il existe des cristaux dont les atomes s’organisent selon un schéma pentagonal. Les proportions entre les côtés et les diagonales du pentagone font intervenir le nombre d’or. Il est aussi présent dans des structures dites quasi cristallines. Les atomes dessinent des triangles d’or qui remplissent l’espace sans pour autant présenter de périodicité, on obtient un pavage de Penrose. Pour la même raison que précédemment, le nombre d’or est présent et l’on retrouve la suite de Fibonacci. Le pentagone n’est pas présent dans tous les cristaux. La structure cubique à faces centrées d’un diamant ne fait pas intervenir le nombre d’or.

 

Ainsi, selon l’axe d’analyse, la réponse sur l’omniprésence du nombre d’or est différente. Pour un scientifique, spécialiste dans un domaine, l’usage du nombre d’or est finalement plutôt rare, limité à quelques sujets comme la phyllotaxie du tournesol ou la cristallographie du quartz. S’il recherche des concepts explicatifs pour mieux comprendre son domaine, la proportion d’Euclide est rarement de ceux-là. D’autres utilisent l’analogie ainsi que l’esthétique comme critère. La divine proportion est pour eux présente dans les cieux, la vie animale et végétale, les minéraux et finalement dans toute la nature.

En biologie, l’ordonnancement des écailles d’une pomme de pin ou de l’écorce d’un ananas induit des spirales ordonnées par des nombres entiers, souvent associés au nombre d’or. Les proportions de ces spirales ne sont pas très éloignées de celles d’une spirale d’or. Les nombres 8 et 13 sont deux nombres consécutifs de la suite de Fibonacci et leur rapport est proche du nombre d’or. Un phénomène analogue se produit avec les étamines des tournesols, cette fois avec les couples d’entiers (21,34), (34,55) et (55, 89). Chacun de ces couples correspond à deux entiers consécutifs de la suite de Fibonacci.

 

La dimension mystique n’est pas absente chez Ghyka et trouve ses origines dans la philosophie pythagoricienne. L’absence de trace écrite sur le nombre d’or chez les pythagoriciens s’expliquerait par le culte du secret. Cette idée est largement reprise et généralisée par les mouvements de pensées ésotériques au XXe siècle. Le nombre d’or serait une trace d’un savoir perdu, nommé Tradition Primordiale ou Connaissance Occulte chez les Rose-Croix ou des mouvements connexes. On le retrouve chez les passionnés de l’Atlantide, qui voient dans la pyramide de Khéops ou le temple d’Andros la preuve d’un savoir mathématique oublié. Ce mouvement de pensée reprend des idées développées en Allemagne au XIXe siècle par Franz Liharzik, pour qui la présence du nombre d’or, de π et de carrés magiques est la preuve incontestable d’un groupe restreint d’initiés possédant la science mathématique absolue.

Le peintre Salvador Dali fait référence au nombre d’or et sa mythologie dans sa peinture, par exemple dans un tableau dénommé Le Sacrement de la dernière Cène.

Les nombres de Fibonacci

La suite de Fibonacci est une suite d’entiers très connue. Elle doit son nom à un mathématicien italien du XIIIe siècle connu sous le nom de Leonardo Fibonacci qui, dans un problème récréatif posé dans un de ses ouvrages, le Liber Abaci, décrit la croissance d’une population de lapins : « Un homme met un couple de lapins dans un lieu isolé de tous les côtés par un mur. Combien de couples obtient-on en un an si chaque couple engendre tous les mois un nouveau couple à compter du troisième mois de son existence ? »

Ce problème est à l’origine de la suite dont le n-ième terme correspond au nombre de paires de lapins au n-ème mois. Dans cette population (idéale), on suppose que :
– au (début du) premier mois, il y a juste une paire de lapereau ;
– les lapereaux ne procréent qu’à partir du (début du) troisième mois ;
– chaque (début de) mois, toute paire susceptible de procréer engendre effectivement une nouvelle paire de lapereaux ;
– les lapins ne meurent jamais (donc la suite de Fibonacci est strictement croissante).  

En clair et pour faire simple sans entrer dans des formules mathématiques, dans la suite de Fibonacci, on additionne les deux nombres précédents pour donner le troisième.

Exemple :

On part de : 1 + 1 = 2, 2+ 3 = 5, 3 + 5 = 8, 5+8 = 13, 8 + 13 = 21, 13 + 21 = 34, 21 – 34 = 55, etc…

Une énigme à résoudre

Maintenant, préparez-vous à faire une découverte surprenante et à entrer dans l’un des plus profonds mystères de la nature. Pour cela, il faut jouer le jeu ; être patient et ne pas lire tout de suite la solution sinon l’intérêt se perd.

Utiliser le matériel suivant :
– Un dictionnaire des noms propres ;
– Une carte de France routière ; de préférence une carte du réseau hydrographique où il est plus facile de localiser très précisément la source de chaque cours d’eau ;
– Une règle graduée de 0 à 50 cm ;
– Eventuellement une calculette.

Démarche à suivre :
Première étape

Commencer par rechercher la longueur réelle des cours d’eau suivants :
(L’unité choisie est le km)
– La Loire – Le Rhône – La Garonne – La Seine – La Marne – Le Lot – Le Doubs – L’Oise

Deuxième étape
Mesurer la longueur à vol d’oiseau de chaque cours d’eau choisi, en tenant compte de l’échelle de la carte. (l’unité choisie est aussi le km)

Troisième étape

Diviser la longueur réelle de chaque cours d’eau par sa longueur à vol d’oiseau.
Noter à chaque fois le quotient obtenu.
Maintenant, vous découvrez quelque chose d’insolite.

Solutions :

– La Loire A : 1020 km B : 630 km 1020 :630=1,619…
– Le Rhône A : 812 km B : 502 km 812 : 502= 1,617…
– La Garonne A : 650 km B : 402 km 650 :402= 1,616…
– La Seine A : 776 km B : 400 km 776 : 400= 1,94*
– La Marne A : 525 km B : 325 km 525 :325= 1, 615…
– Le Lot A : 480 km B: 297 km 480: 297= 1,616…
– Le Doubs A : 430 km B : 266 km 430 :266= 1, 616 …
– L’Oise: A : 302 km B : 180 km 302 : 180= 1,667…

Vous venez de découvrir que le rapport entre la longueur réelle d’un cours d’eau et sa longueur à vol d’oiseau correspond approximativement à 1,618 appelé le nombre d’or ou la divine proportion. Cette loi fut découverte par Albert Einstein et constatée par Hans-Hendrick Stolum, spécialiste des sciences de la Terre. « Dieu a créé toute chose sur Terre, y compris les nombres. Aux hommes de les découvrir. »

Nous pourrions continuer à diviser la longueur réelle de n’importe quel cours d’eau du monde entier par sa longueur à vol d’oiseau, nous tomberions toujours soit sur le nombre d’or soit sur une valeur approchée de celui-ci.

Le nombre d’or, appelé divine proportion correspond au nombre 1, 618. N’est-ce pas là une preuve irréfutable de l’existence d’un être immensément supérieur à l’homme que nous appelons Dieu ?

yogaesoteric

20 octobre 2017

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